Andreas Gathmann's Einführung in die Topologie PDF

By Andreas Gathmann

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15 (Offene Mengen in X ∪ f Y ). 11). Dieses Kriterium lässt sich manchmal noch etwas vereinfachen. Ist f nämlich surjektiv, so gilt zunächst πY−1 (U) = f (A ∩ πX−1 (U)): „⊂“: Ist y ∈ πY−1 (U), also y ∈ U, so gibt es wegen der Surjektivität von f ein x ∈ A mit y = f (x). 12 (a) ist dann x = f (x) = y ∈ U, d. h. x ∈ πX−1 (U). Also ist y = f (x) mit x ∈ A ∩ πX−1 (U) und damit y ∈ f (A ∩ πX−1 (U)). „⊃“: Ist y ∈ f (A ∩ πX−1 (U)), so ist y = f (x) mit x ∈ A und x ∈ U, also y = f (x) = x ∈ U und damit y ∈ πY−1 (U).

Man zeige: ˆ (a) T ist eine Topologie auf X. (b) Xˆ ist mit dieser Topologie kompakt. ˆ (c) Der Abschluss von X in Xˆ ist der gesamte Raum Xˆ (man sagt: X liegt dicht in X). Man nennt Xˆ die Einpunktkompaktifizierung von X. In der folgenden Aufgabe werden wir zwei Beispiele dazu untersuchen. 20. 19 homöomorph zur Kreislinie S1 ist. (b) Es sei (xn ) eine Folge in einem topologischen Raum X. Wir können diese Folge dann natürlich auch als Funktion f : N → X, n → xn auffassen. Zeige, dass die Folge (xn ) genau dann gegen ein x ∈ X konvergiert, wenn sich diese Funktion f durch die Festsetzung f (∞) := x zu einer stetigen Funktion von der Einpunktkompaktifiˆ von N nach X fortsetzen lässt.

A) es mit einer Kreisscheibe D2 entlang des gemeinsamen Randes (jeweils homöomorph zu S1 ) verklebt; (b) es mit einem zweiten Möbiusband entlang des gemeinsamen Randes S1 verklebt; (c) es entlang der Mittellinie aufschneidet; (d) seinen Rand S1 zu einem Punkt zusammenschlägt? Ein Vorteil des Verklebens entlang von Abbildungen ist, dass wir in dieser Sprechweise auf relativ einfache Art ein Kriterium dafür beweisen können, wann so konstruierte Räume die von uns in Kapitel 4 betrachteten Trennungseigenschaften besitzen.

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Einführung in die Topologie by Andreas Gathmann


by Paul
4.0

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