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F heiBt surjektiv :{::} Vy E M2 3x E MI ((x, y) E J) (J bildet auf M2 ab). fist bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. 2 1. idMl := {(x,x) I x E Md, die identische Funktion auf M I , ist bijektiv. 2. Die Funktion f = {( n, 2n) I n EN} ist bijektiv, denn jeder natiirlichen Zahl ist umkehrbar eindeutig ihr Doppeltes zugeordnet. 1st f eine Funktion f : MI -+ M2 und ist A f(A) := {y E M2 und nennen f(A) Bild von A. 1st B I 3x E ~ f-I(B) := {x E MI ~ M I , so definieren wir A ((x, y) E f)} M 2, so definieren wir I 3y E B ((x, y) E f)} und nennen f-l(B) Urbild oder Original von B.

Dann heiBt gof : M -+ P mit (goJ)(x) := g(J(x)) verkettete Abbildung oder Produkt von fund g. 3 Die Multiplikation 0 ist assoziativ, das heiJ1t es gilt (Jog)oh f 0 (g 0 h), falls beide Seiten existieren. = Beweis: Es sei x E Db(h), h(x) E Db(g) und g(h(x)) E Db(J). Dann ist auch h(x) E Db(J 0 g) und beide Seiten existieren. Die folgende Rechnung zeigt die Gleichheit: ((J 0 g) 0 h)(x) = (J 0 g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g 0 h)(x)) = (J 0 (g 0 h))(x) . • Die inverse Abbildung einer Funktion f- 1 := f :M {(y,x) -+ N ist definiert durch I (x,y) E J}.

Vb E B (b ~ a) und 2. Va' E A Vb E B (b ~ a' => a ~ a') erfiillt sind. Man bezeichnet Supremum und Infimum einer Teilmenge B von A durch a = V B beziehungsweise durch a = /\ B. 13 Wir wollen das Infimum und das Supremum einer zweielementigen Menge {a, b} natiirlicher Zahlen beziiglich der Teilerrelation ermitteln. Das Supremum e von a und b erfiillt die beiden Bedingungen 1. Ve' E N((ale' 1\ ble') => ele') und das Infimum von a und b erfiillt die Bedingungen 1. cia, elb, 2. Ve' E N ((e'la 1\ c'lb) => e'le}.

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