New PDF release: Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten

By Wolfgang Lück

ISBN-10: 3322802418

ISBN-13: 9783322802415

ISBN-10: 3528032189

ISBN-13: 9783528032180

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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Mittels einer Diagrammjagd zeigt man die Exaktheit der langen Homologiesequenz. Ihre Natiirlichkeit ist offen0 sichtlich. Sei {C*[iJ liE I} eine Familie von R-Kettenkomplexen. Man definiert die direkte Summe EBiEI C* [iJ und das direkte Produkt DiEI C* [iJ, indem man als n-ten Kettenmodul die direkte Summe bzw. das direkte Produkt der einzelnen Kettenmoduln Cn[iJ nimmt und das n-te Differential entsprechend definiert. 2 iEI (ffl ~ Hn ~ II Hn(C*[i]). 8) iEI Konstruktion der singuUiren Homologie Sei X ein topologischer Raum.

7fi/n) r-+ exp((l + t) ·7fi/n) exp((k + t) . 7fi/n) r-+ exp((l + 1 - t) ·7fi/n) {l, 2, ... , 2n}, k i- l. In diesem Sinne fUr t E [0,1] und feste Werte k, I E beschreiben die obigen Worte, wie man die Bogen paarweise identifiziert, urn die zugehorige FUiche zu erhalten. Wir bezeichnen im Folgenden mit Fo+ die Sphare 52, mit Fg+ die Flache zum Wort a1a2al1a;-1 ... a29-1a29a;-9~1 a;-gl und mit Fg- die Flache zum Wort a1a1b1b1 ... agag.

Man rechnet nun leicht nach, dass wiederum gilt n = O,d, sonst. 39 (Triviale Differentiale). Sei X ein endlicher CW-Komplex. Falls alle Inzidenzzahlen inzi,j fur nEZ, n 2: 0, i E In, j E I n- l verschwinden, sind aile Differentiale von C~· (X) trivial und es folgt 1i n (X) ~ EB1io({e}). ) Die Bedingung uber die Inzidenzzahlen ist trivialerweise erfUllt, falls X nur Zellen in geraden Dimensionen hat. 5). Daraus folgt o ~ n ~ 2d und n gerade, sonst. 40. (ZelluUire Kettenkornplex von lRJPd). Sei lRJPd der reelle projektive Raum fUr d E Z, d 2: 0 oder d = 00.

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Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Lück


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