Algebraische Topologie by Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.) PDF

By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

ISBN-10: 3034892691

ISBN-13: 9783034892698

ISBN-10: 3764322292

ISBN-13: 9783764322298

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Zeigen Sie: Das topologische Produkt einer Familie von diskreten Raumen ist diskret genau dann, wenn die Familie endlich ist. Beweisen Sie, daB auf Ill n = III x III x ... x III die Standardtopologie und die Produkttopologie ubereinstimmen. X und Y seien topologische Riiume, A C X, BeY. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: (i) A x B ist Teilraum von X x Y . (ii) A x B = A x B. (iii) A x B = A x B. (iv) Rd(A x B) = (RdA) x BUA x RdB. In Ill n+1 \ {OJ sei die Aquivalenzrelation S gegeben, durch (x, y) E S genau dann, wenn ein r E Ill\ {OJ existiert, so daB y = rx.

In einem H aU8dorffraum i8t jede kompakte Teilmenge abge8chlo88en. BEWEIS: X sei hausdorffsch und A eine kompakte Teilmenge von X. Wenn A = X ist, dann ist die Behauptung richtig. Sei also A i- X und x E X \ A. Zu jedem yEA existieren offene Umgebungen Uy von x und Vy von y mit Uy n Vy = 0. h. U Vy :J A. Da A yEA kompakt ist, gibt es Vy1 , ... , VYn aus der Uberdeckung mit der Eigenschaft, daB V = VY1 U ... U VYn :J A. Fiir die zu diesen Vy1 , ... , VYn gehorenden UY1 , ... , UYn gilt: U = UY1 n ...

3 Beispiele. (i) Jeder indiskrete Raum ist quasikompakt. (ii) Ein diskreter Raum ist genau dann kompakt, wenn die zugrundeliegende Menge endlich ist. (iii) Nach dem bekannten Satz von Heine-Borel ist eine Teilmenge des Dln genau dann kompakt, wenn sie beschriinkt und abgeschlossen ist. Zur Charakterisierung der Kompaktheit mit abgeschlossenen Teilmengen wird eine technische Bezeichnung eingefuhrt, die an spaterer Stelle mehrmals verwendet wird. 4 Deftnition. Eine Familie (A~)~EA von Teilmengen einer Menge X besitzt die endliche Durchschnittseigenschaft (EDE), wenn fur alle endlichen Teilmengen K von A gilt n A~ =1= 0.

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