Algebra und Diskrete Mathematik für Informatiker by Klaus Denecke (auth.) PDF

By Klaus Denecke (auth.)

ISBN-10: 3322801098

ISBN-13: 9783322801098

ISBN-10: 3519027496

ISBN-13: 9783519027492

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wesentlichen Grundlagen der Informatik. Sie sind unverzichtbare Werkzeuge eines jeden Informatikers und spielen daher auch im Studium eine zentrale Rolle. Dieses Lehrbuch vermittelt anschaulich und leicht nachvollziehbar die wichtigsten algebraischen Grundlagen der Informatik bis hin zur Gleichungstheorie der Universellen Algebra. Alle Begriffe und Aussagen werden in ihrem Zusammenhang zu den Anwendungen in der Diskreten Mathematik und Informatik betrachtet.
Zahlreiche Übungsaufgaben und ihre Lösungen helfen dem Leser, den Stoff zu verstehen. Insbesondere wird der Einsatz algebraischer Methoden bei der Erkennung, Erfassung, Übertragung und Auswertung von Datenmengen beschrieben.

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F heiBt surjektiv :{::} Vy E M2 3x E MI ((x, y) E J) (J bildet auf M2 ab). fist bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. 2 1. idMl := {(x,x) I x E Md, die identische Funktion auf M I , ist bijektiv. 2. Die Funktion f = {( n, 2n) I n EN} ist bijektiv, denn jeder natiirlichen Zahl ist umkehrbar eindeutig ihr Doppeltes zugeordnet. 1st f eine Funktion f : MI -+ M2 und ist A f(A) := {y E M2 und nennen f(A) Bild von A. 1st B I 3x E ~ f-I(B) := {x E MI ~ M I , so definieren wir A ((x, y) E f)} M 2, so definieren wir I 3y E B ((x, y) E f)} und nennen f-l(B) Urbild oder Original von B.

Dann heiBt gof : M -+ P mit (goJ)(x) := g(J(x)) verkettete Abbildung oder Produkt von fund g. 3 Die Multiplikation 0 ist assoziativ, das heiJ1t es gilt (Jog)oh f 0 (g 0 h), falls beide Seiten existieren. = Beweis: Es sei x E Db(h), h(x) E Db(g) und g(h(x)) E Db(J). Dann ist auch h(x) E Db(J 0 g) und beide Seiten existieren. Die folgende Rechnung zeigt die Gleichheit: ((J 0 g) 0 h)(x) = (J 0 g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f((g 0 h)(x)) = (J 0 (g 0 h))(x) . • Die inverse Abbildung einer Funktion f- 1 := f :M {(y,x) -+ N ist definiert durch I (x,y) E J}.

Vb E B (b ~ a) und 2. Va' E A Vb E B (b ~ a' => a ~ a') erfiillt sind. Man bezeichnet Supremum und Infimum einer Teilmenge B von A durch a = V B beziehungsweise durch a = /\ B. 13 Wir wollen das Infimum und das Supremum einer zweielementigen Menge {a, b} natiirlicher Zahlen beziiglich der Teilerrelation ermitteln. Das Supremum e von a und b erfiillt die beiden Bedingungen 1. Ve' E N((ale' 1\ ble') => ele') und das Infimum von a und b erfiillt die Bedingungen 1. cia, elb, 2. Ve' E N ((e'la 1\ c'lb) => e'le}.

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by George
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